Skąd się wzięły liczby?

Skąd się wzięły liczby?

Kiedyś dokonywanie skomplikowanych działań arytmetycznych było wiedzą tajemną, pożądaną, ale niezwykle trudną do opanowania.

Obecnie matematykę w szkole i możliwość zdobycia wiedzy w zakresie przeprowadzania skomplikowanych obliczeń ma każdy uczeń, nie przykłada się jednak do tego przedmiotu zbytniej wagi. Widać to wyraźnie także w przeprowadzanych reformach systemu edukacji, które  pozbawiają ucznia – jeżeli zdecyduje się na humanistyczną ścieżkę kariery – możliwości rozwijania umiejętności matematycznych. Można więc powiedzieć, że matematyka w dalszym czasie jest wiedzą tajemną…

Jak dużo czasu zabrało człowiekowi opanowanie sztuki liczenia? Czy umiejętność wykonywania operacji arytmetycznych jest nam wrodzona czy musimy się jej uczyć? Pewne zdolności obliczeniowe na pewno wiążą się ze zdolnością abstrakcyjnego myślenia. Wielu rzeczy trzeba się jednak nauczyć, bo zależą od przyjętego systemu zapisu.

Jak zapamiętać liczbę upolowanych mamutów czy zdobytych skalpów? Można postawić nacięcie na korze drzewa lub kości. Do dziś zresztą „zlicza” się w ten sposób lupy i trofea wojenne: zestrzelone samoloty, upolowane zwierzęta, trafionych wrogów.

Wydaje się naturalne wymyślenie nazw dla poszczególnych ilości znaków, przynajmniej dla tych niezbyt licznych i często spotykanych. Prawdopodobnie w ten sposób narodziły się pierwsze liczby. Liczne takie „notatki” zachowały się na kościach upolowanych zwierząt – najstarsze pochodzą sprzed ponad 30 tysięcy lat.

Jest niemal pewne, że do „liczenia” wykorzystywano też własne ciało. Mamy dwie ręce i dwie nogi. Po pięć palców u rąk i nóg. Nie nosząc butów, łatwo więc można zliczyć do dwudziestu. Do dziś mówi się zresztą o liczeniu „na palcach”, co oznacza operację łatwą do wykonania. Tym większy podziw należy się szesnastowiecznym Chińczykom, którzy opracowali sposób korzystania z palców lewej ręki i prawego kciuka w liczeniu powyżej stu tysięcy, głównie w celach handlowych.

System liczenia, z którego dziś korzystamy, odziedziczyliśmy po Hindusach za pośrednictwem Arabów. Hindusi używali systemu dziesiętnego już około 2000 lat przed naszą erą. Jedną z wersji hinduskich cyfr (już z zerem) zapożyczyli Arabowie. Jak pisał jeden z nich, al–Biruni, około roku 1030:

…cyfry, których używamy, zostały wybrane spośród najlepszych i najbardziej regularnych cyfr indyjskich.

Do Europy trafiły wraz z islamem, prawdopodobnie przez Hiszpanię.

Najstarszym przykładem zastosowania nowych cyfr w Europie jest data na monetach sycylijskich Rogera z 1138 roku. W Polsce pierwsze monety z datami zapisanymi wedle nowej „mody” pochodzą z 1506 roku.

Odziedziczony po Hindusach i Arabach system korzysta z dziesięciu różnych symboli na oznaczenie dziewięciu pierwszych liczb i zera. Całą resztę umiemy zbudować dzięki owym dziesięciu znakom i pewnej genialnie prostej konwencji, zwanej zapisem pozycyjnym, możliwej dzięki wprowadzeniu zera. Znaczenie cyfry zależy nie tylko od jej wartości, ale i od miejsca zajmowanego w zapisie. System pozycyjny z zerem jako jedyny pozwala na systematyczne zapisywanie dowolnie dużych liczb bez potrzeby wprowadzania nowych symboli.

Układ dziesiętny wydaje się najbardziej naturalny, bo mamy 10 palców u rąk. Istnieją wszak układy oparte na systemie dwunastkowym (tuzin, doba), sześćdziesiątkowym (godzina – 60 minut, minuta – 60 sekund), dwudziestkowym (używanym przez Majów), szesnastkowym (kodowanie kolorów w komputerach) i binarnym (dwójkowy „język” wewnętrzny komputerów). Układ dwójkowy powstał jednak znacznie wcześniej niż komputery – używał go już Gottfried Wilhelm Leibniz, doceniając jego wyjątkową prostotę. Jego ślady można też znaleźć w językach prymitywnych plemion Oceanii. Systemy liczbowe istniały przecież na długo zanim zaczęli liczyć Hindusi i Arabowie.

Jeden z najstarszych systemów liczbowych stworzyli Sumerowie ponad 6000 lat temu. Był on oparty, tak jak „nasz”, na dziesiątce, co znaczy, że jednostka wyższego rzędu zawierała 10 jednostek rzędu bezpośrednio niższego.

Zapisywanie liczb w starożytnej Grecji polegało najpierw na zapisaniu pierwszych liter nazw liczb. Pi (od pente) oznaczało więc… 5. Jeszcze za czasów Peryklesa była to notacja urzędowa. Potem kolejne liczby zaczęto oznaczać kolejnymi literami alfabetu. Pewna odmiana greckich liter-liczb funkcjonuje w matematyce do dziś.